Приложение 2. Методика расчёта срока
исчерпания ресурсов

Пусть полный (в литературе употребляется термин потенциальный) мировой запас некоторого ресурса равен $S_0$ единиц (тысяч, миллионов или миллиардов тонн, баррелей или карат и т. п.), а его потребление (добыча) в настоящее время, которое мы примем за начало отсчёта ($t_0$), равно $A_0$ единиц в год. Эту добычу можно представить как произведение числа жителей Земли $N_0$ на условное среднее потребление на одного человека в год $g_0$:

Предположим, что население Земли и среднее потребление на человека меняются по экспоненциальному закону:

где $n$ и $m$ представляют собой относительный прирост (или убыль) населения и годового потребления на одного человека в единицу времени, т. е. за год:

Такое предположение в настоящее время и вообще для небольших промежутков времени близко к реальной действительности. Отметим, что эти формулы применимы к росту населения или потребления, когда $n>0$ или $m>0$, стабильному состоянию при $N=N_0$, $g=g_0$, когда $n$ и $m$ равны нулю и случаю спада, когда $n<0$ или $m<0$. Общее потребление также будет меняться по экспоненте:

с общим показателем $a=n+m$, характеризующим относительное изменение общего потребления в единицу времени:

Итак, мы имеем запас $S_0$, а расходовать его собираемся со скоростью

Этот запас будет исчерпан за время $t_1$, которое определяется уравнением

Отсюда находим $t_1-t_0$:

Это и есть то время, в течение которого будет полностью истрачен весь запас. Надо только учитывать, что величина $a$ может быть положительной (рост потребления), нулевой (стабильное потребление) или отрицательной (спад потребления). Отрицательное значение $a$ может стать таким, что выражение, стоящее под знаком логарифма, будет равно нулю или отрицательным. В этом случае операция логарифмирования, которой мы воспользовались, становится незаконной и уравнения (П2.6), (П2.7) не имеют решения. Это означает, что спад добычи происходит слишком быстро и имеющийся ресурс $S_0$ никогда не будет исчерпан. При $a=0$ (стабильное потребление) правая часть выражения (П2.8) становится неопределённой. Раскрывая эту неопределённость, получим тривиальное решение:

В формуле (П2.8) время $t_1-t_0$ в сущности зависит не от трёх параметров ($a$, $S_0$, $A_0$), а только от двух: $a$ и отношения $S_0/A_0=k$:

Это выражение можно ещё более упростить, положив $p=\mathit{ka}+1$, и тогда

Эта удобная формула позволяет определять сроки исчерпания любых ресурсов. Она показывает, что время $t_1-t_0$ заметно зависит от величины $a$ (темпов роста или спада потребления) и гораздо слабее зависит от $p$, т. е. от текущего запаса $S_0$, который известен очень ориентировочно, и от абсолютной величины добычи, которая известна хорошо.

Для пояснения сказанного рассмотрим конкретный пример. Возьмём каменный уголь — один из энергетических материалов. Его потенциальные ресурсы в развитых капиталистических и развивающихся странах согласно [21] оцениваются величиной $S_0=3740$ миллиардов тонн (3,74$\cdot 10^{12}$ т), а добыча составляет $A_0=2,$19 миллиардов тонн (2,19$\cdot 10^9$ т). Годовой прирост добычи за предшествующие 5 лет немного колебался, но в среднем $a=0,026$ (2,6% за год). Отсюда:

Предположим теперь, что при оценке $S_0$ мы ошиблись и приуменьшили запас в 10, в 100, … в 1000 раз.¹⁰ В этом случае $p_{10}=445,$0;  $t_1-t_0=234,$5 лет;  $p_{100}=4441$;  $t_1-t_0=323$ года;  $p_{1000}=44402$;  $t_1-t_0=411,$6 лет. Конечно, для поколений, которые будут жить в ближайшие столетия, всё это важно, но для судеб человечества в течение миллионов лет это не имеет никакого значения.

Рассмотрим теперь влияние темпов прироста добычи. Пусть при оценке $a$ мы ошиблись всего на 1,3%, т. е. в два раза: $a=0,$013 (вместо $a=0,$026). Тогда при $S_0=3,747\cdot 10^{12}$ т, $p_1=23,2$ и $t-t_0=242$ года, т. е. 1% ошибки в величине $a$ эквивалентен 10-кратной ошибке в $S_0$. При стабилизации потребления угля, когда $a=0$, наличных ресурсов хватит уже на 1700 лет, а если за счёт сокращения рождаемости при современном потреблении на одного человека (0,44 т/год) население начнёт уменьшаться всего на 1% в год ($a=-0,$01),¹¹ то ресурсы угля никогда не будут исчерпаны. Правда, к таким оценкам надо относиться с крайней осторожностью, ибо существует опасность, что через пару тысяч лет последний оставшийся на Земле человек будет размышлять, что делать с запасами каменного угля, которые так и не удалось использовать. А если рассуждать несколько серьёзнее, нетрудно подсчитать, что при сокращении численности населения всего на 0,1% в год ($a=-0,$001), через 1600 лет человечество уменьшится в 5 раз — с 5 до 1 миллиарда. При этом будет использовано всего только $1,77\cdot 10^{12}$ т угля. Стабилизировав после этого численность человечества и потребление, можно спокойно жить ещё 4500 лет. Правда, в рассматриваемых масштабах это всё ещё очень малые сроки, но они позволяют обеспечить достаточный запас времени для спокойного перехода к новым источникам ресурсов, технологиям и вообще к новому укладу жизни. Изложенной методикой определения сроков можно пользоваться для любых видов ресурсов и любых условий. Читатель может проделать это и сам, причём даже без калькулятора, пользуясь только графиком зависимости $y=\ln x$, представленном на рис. П.9, и производя дополнительно самые несложные операции типа умножения и деления.